Подстановочные или словарно-ориентированные алгоритмы сжатия информации. Методы Лемпела-Зива
Методы Шеннона-Фэно, Хаффмена и арифметическое кодирование обобщающе называются статистическими методами. Словарные алгоритмы носят более практичный характер. Их частое преимущество перед статистическими теоретически объясняется тем, что они позволяют кодировать последовательности символов разной длины. Неадаптивные статистические алгоритмы тоже можно использовать для таких последовательностей, но в этом случае их реализация становится весьма ресурсоемкой.
Алгоритм LZ77 был опубликован в 1977 г. Разработан израильскими математиками Якобом Зивом (Ziv) и Авраамом Лемпелом (Lempel). Многие программы сжатия информации используют ту или иную модификацию LZ77. Одной из причин популярности алгоритмов LZ является их исключительная простота при высокой эффективности сжатия. Основная идея LZ77 состоит в том, что второе и последующие вхождения некоторой строки символов в сообщении заменяются ссылками на ее первое вхождение.
LZ77 использует уже просмотренную часть сообщения как словарь. Чтобы добиться сжатия, он пытается заменить очередной фрагмент сообщения на указатель в содержимое словаря. LZ77 использует “скользящее” по сообщению окно, разделенное на две неравные части. Первая, большая по размеру, включает уже просмотренную часть сообщения. Вторая, намного меньшая, является буфером, содержащим еще незакодированные символы входного потока. Обычно размер окна составляет несколько килобайт, а размер буфера — не более ста байт. Алгоритм пытается найти в словаре (большей части окна) фрагмент, совпадающий с содержимым буфера. Алгоритм LZ77 выдает коды, состоящие из трех элементов:
- смещение в словаре относительно его начала подстроки, совпадающей с началом содержимого буфера;
- длина этой подстроки;
- первый символ буфера, следующий за подстрокой.
Пример. Размер окна — 20 символ, словаря — 12 символов, а буфера — 8. Кодируется сообщение “ПРОГРАММНЫЕ ПРОДУКТЫ ФИРМЫ MICROSOFT”. Пусть словарь уже заполнен. Тогда он содержит строку “ПРОГРАММНЫЕ ”, а буфер — строку “ПРОДУКТЫ”. Просматривая словарь, алгоритм обнаружит, что совпадающей подстрокой будет “ПРО”, в словаре она расположена со смещением 0 и имеет длину 3 символа, а следующим символом в буфере является “Д”. Таким образом, выходным кодом будет тройка <0,3,’Д’>. После этого алгоритм сдвигает влево все содержимое окна на длину совпадающей подстроки +1 и одновременно считывает столько же символов из входного потока в буфер. Получаем в словаре строку “РАММНЫЕ ПРОД”, в буфере
— “УКТЫ ФИР”. В данной ситуации совпадающей подстроки обнаружить не удаться и алгоритм выдаст код <0,0,’У’>, после чего сдвинет окно на один символ. Затем словарь будет содержать “АММНЫЕ ПРОДУ”, а буфер — “КТЫ ФИРМ”. И т.д.
Декодирование кодов LZ77 проще их получения, т.к. не нужно осуществлять поиск в словаре.
Недостатки LZ77:
1) с ростом размеров словаря скорость работы алгоритма-кодера пропорционально замедляется;
2) кодирование одиночных символов очень неэффективно.
Кодирование одиночных символов можно сделать эффективным, отказавшись от ненужной ссылки на словарь для них. Кроме того, в некоторые модификации LZ77 для повышения степени сжатия добавляется возможность для кодирования идущих подряд одинаковых символов.
Пример. Закодировать по алгоритму LZ77 строку “КРАСНАЯ КРАСКА”.
В последней строчке, буква “А” берется не из словаря, т. к. она последняя.
Длина кода вычисляется следующим образом: длина подстроки не может быть больше размера буфера, а смещение не может быть больше размера словаря −1. Следовательно, длина двоичного кода смещения будет округленным в большую сторону log2(размер словаря), а длина двоичного кода для длины подстроки будет округленным в большую сторону log2(размер буфера+1). А символ кодируется 8 битами (например, ASCII+).
В последнем примере длина полученного кода равна 9*(3+3+8) = 126 бит, против 14 * 8 = 112 бит исходной длины строки.
В 1982 г. Сторером (Storer) и Шиманским (Szimanski) на базе LZ77 был разработан алгоритм LZSS, который отличается от LZ77 производимыми кодами.
Код, выдаваемый LZSS, начинается с однобитного префикса, различающего собственно код от незакодированного символа. Код состоит из пары: смещение и длина, такими же как и для LZ77. В LZSS окно сдвигается ровно на длину найденной подстроки или на 1, если не найдено вхождение подстроки из буфера в словарь. Длина подстроки в LZSS всегда больше нуля, поэтому длина двоичного кода для длины подстроки — это округленный до большего целого двоичный логарифм от длины буфера.
Пример. Закодировать по алгоритму LZSS строку “КРАСНАЯ КРАСКА”.
Здесь длина полученного кода равна 7 * 9 + 4 * 7 = 91 бит.
LZ77 и LZSS обладают следующими очевидными недостатками:
1) невозможность кодирования подстрок, отстоящих друг от друга на расстоянии, большем длины словаря;
2) длина подстроки, которую можно закодировать, ограничена размером буфера.
Если механически чрезмерно увеличивать размеры словаря и буфера, то это приведет к снижению эффективности кодирования, т.к. c ростом этих величин будут расти и длины кодов для смещения и длины, что сделает коды для коротких подстрок недопустимо большими.
Кроме того, резко увеличится время работы алгоритма-кодера.
В 1978 г. авторами LZ77 был разработан алгоритм LZ78, лишенный названных недостатков.
LZ78 не использует “скользящее” окно, он хранит словарь из уже просмотренных фраз. При старте алгоритма этот словарь содержит только одну пустую строку (строку длины нуль). Алгоритм считывает символы сообщения до тех пор, пока накапливаемая подстрока входит целиком в одну из фраз словаря. Как только эта строка перестанет соответствовать хотя бы одной фразе словаря, алгоритм генерирует код, состоящий из индекса строки в словаре, которая до последнего введенного символа содержала входную строку, и символа, нарушившего совпадение. Затем в словарь добавляется введенная подстрока. Если словарь уже заполнен, то из него предварительно удаляют менее всех используемую в сравнениях фразу.
Ключевым для размера получаемых кодов является размер словаря во фразах, потому что каждый код при кодировании по методу LZ78 содержит номер фразы в словаре. Из последнего следует, что эти коды имеют постоянную длину, равную округленному в большую сторону двоичному логарифму размера словаря +8 (это количество бит в байт-коде расширенного ASCII).
Пример. Закодировать по алгоритму LZ78 строку “КРАСНАЯ КРАСКА”, используя словарь длиной 16 фраз.
Указатель на любую фразу такого словаря — это число от 0 до 15, для его кодирования достаточно четырех бит.
В последнем примере длина полученного кода равна 10 * (4 + 8) =120 битам.
Алгоритмы LZ77, LZ78 и LZSS разработаны математиками и могут использоваться свободно.
В 1984 г. Уэлчем (Welch) был путем модификации LZ78 создан алгоритм LZW.
Пошаговое описание алгоритма-кодера.
Шаг 1. Инициализация словаря всеми возможными односимвольными фразами (обычно 256 символами расширенного ASCII). Инициализация входной фразы w первым символом сообщения.
Шаг 2. Считать очередной символ K из кодируемого сообщения.
Шаг 3. Если КОНЕЦ_СООБЩЕНИЯ
Выдать код для w
Конец
Если фраза wK уже есть в словаре
Присвоить входной фразе значение wK
Перейти к Шагу 2
Иначе
Выдать код w
Добавить wK в словарь
Присвоить входной фразе значение K
Перейти к Шагу 2.
Как и в случае с LZ78 для LZW ключевым для размера получаемых кодов является размер словаря во фразах: LZW-коды имеют постоянную длину, равную округленному в большую сторону двоичному логарифму размера словаря.
Пример. Закодировать по алгоритму LZW строку “КРАСНАЯ КРАСКА”. Размер словаря — 500 фраз.
В этом примере длина полученного кода равна 12 * 9 = 108 битам.
При переполнении словаря, т. е. когда необходимо внести новую фразу в полностью заполненный словарь, из него удаляют либо наиболее редко используемую фразу, либо все фразы, отличающиеся от одиночного символа.
Алгоритм LZW является запатентованным и, таким образом, представляет собой интеллектуальную собственность. Его безлицензионное использование особенно на аппаратном уровне может повлечь за собой неприятности.
Любопытна история патентования LZW.
Заявку на LZW подали почти одновременно две фирмы — сначала IBM и затем Unisys, но первой была рассмотрена заявка Unisys, которая и получила патент. Однако, еще до патентования LZW был использован в широко известной в мире Unix программе сжатия данных compress.
Особенности программ-архиваторов
Если коды алгоритмов типа LZ передать для кодирования (адаптивному) алгоритму Хаффмена или арифметическому, то полученный двухшаговый (конвейерный, а не двухпроходный) алгоритм даст результаты сжатия подобные широко известным программам: GZIP, ARJ, PKZIP, ...
Наибольшую степень сжатия дают двухпроходные алгоритмы, которые исходные данные последовательно сжимают два раза, но они работают до двух раз медленнее однопроходных при незначительном увеличении степени сжатия.
Большинство программ-архиваторов сжимает каждый файл по отдельности, но некоторые сжимают файлы в общем потоке, что дает увеличение степени сжатия, но одновременно усложняет способы работы с полученным архивом, например, замена в таком архиве файла на его более новую версию может потребовать перекодирования всего архива.
Примером программы, имеющей возможность сжимать файлы в общем потоке, является RAR. Архиваторы ОС Unix (gzip, bzip2, ...) сжимают файлы в общем потоке практически всегда.
В 1992 году фирма WEB Technologies объявила о выходе новой программы сжатия DataFiles/16, которая якобы может при неоднократном использовании сжать любое количество данных до 1024 байт. Информация об этом прошла из солидного издания, журнала Byte. Конечно же никакой алгоритм сжатия не может уплотнить произвольные данные.
Для доказательства этого проделаем следующий мысленный эксперимент. Предположим, что на жестком диске компьютера хранятся все возможные разные файлы длиной ровно 100 байт (таких
файлов будет всего 2800). И пусть существует идеальная программа сжатия данных, которая сожмет каждый из них хотя бы на один байт.
Но тогда, так как всего разных файлов длиной меньшей 100 байт существует не более чем 1 + 28 + 216 + · · · + 2792 = (2800 − 1)/255 < 2800, то неизбежно получится, что два разных файла упакуются в идентичные файлы. Следовательно, не может существовать программы сжатия данных, которая может сжать любые исходные данные.
Формат файла, содержащего данные, которые перед использованием требуется распаковать соответствующей программой-архиватором, как правило, может быть идентифицирован расширением имени файла.
В следующей таблице приводятся некоторые типичные расширения, соответствующие им программы-архиваторы и методы сжатия данных.
Практически все форматы файлов для хранения графической информации используют сжатие данных. Формат графического файла также, как правила, идентифицируется расширением имени файла.
В следующей таблице приводятся некоторые типичные расширения графических файлов и соответствующие им методы сжатия данных.
Сжатие RLE (Run Length Encoding — кодирование переменной длины) — это простейший метод сжатия, в общем случае очень неэффективный, но дающий неплохие результаты на типичной графической информации. Оно основано в основном на выделении специального кода-маркера, указывающего сколько раз повторить следующий байт.
Сжатие и распаковка в реальном времени используется в программах-драйверах для “уплотнения” носителей информации, позволяющих увеличить емкость носителя приблизительно в 2 раза. Наиболее известной программой такого рода является DriverSpace для MS-DOS и Microsoft Windows.
Сжатие информации с потерями
Все ранее рассмотренные алгоритмы сжатия информации обеспечивали возможность полного восстановления исходных данных. Но иногда для повышения степени сжатия можно отбрасывать часть исходной информации, т. е. производить сжатие с потерями. Естественно, что такое сжатие нельзя проводить, например, на финансовой базе данных банка. Но в тех случаях, когда сжимается информация, используемая лишь для качественной оценки (это, как правило, аналоговая информация), сжатие с потерями является очень подходящим.
Сжатие с потерями используется в основном для трех видов данных: полноцветная графика (224 * 16 млн. цветов), звук и видеоинформация.
Сжатие с потерями обычно проходит в два этапа. На первом из них исходная информация приводится (с потерями) к виду, в котором ее можно эффективно сжимать алгоритмами второго этапа сжатия без потерь.
Основная идея сжатия графической информации с потерями заключается в следующем. Каждая точка в картинке характеризуется тремя равноважными атрибутами: яркостью, цветом и насыщенностью. Но глаз человека воспринимает эти атрибуты не как равные. Глаз воспринимает полностью только информацию о яркости и в гораздо меньшей степени о цвете и насыщенности, что позволяет отбрасывать часть информации о двух последних атрибутах без потери качества изображения. Это свойство зрения используется, в частности, в цветном телевизоре, в котором на базовое черно-белое изображение наносят цветовую раскраску.
Для сжатия графической информации с потерями в конце 1980-х установлен один стандарт — формат JPEG (Joint Photographic Experts Group — название объединения его разработчиков). В этом формате можно регулировать степень сжатия, задавая степень потери качества.
Сжатие видеоинформации основано на том, что при переходе от одного кадра фильма к другому на экране обычно почти ничего не меняется. Таким образом, сжатая видеоинформация представляет собой запись некоторых базовых кадров и последовательности изменений в них. При этом часть информации может отбрасываться. Сжатую подобным образом информацию можно далее сжимать и другими методами. Хотя существует не один стандарт для сжатия видеоданных, наиболее распространенными являются стандарты MPEG (Motion Picture Experts Group), первый из которых был опубликован в 1988 году. MPEG — практически единственный стандарт для записи видео и звуковой информации на CD-ROM, DVD-ROM и в цифровом спутниковом телевидении. Видеоинформацию можно сжать необыкновенно плотно, до 100 и более раз, что позволяет, например, на одну видеокассету, записать более ста различных художественных фильмов. Но из-за очень сложных проблем, связанных с правами на интеллектуальную собственность, реально возможности сжатия информации таким образом используются сравнительно редко.
Для сжатии звуковой информации с потерями существует несколько стандартов. Наиболее широко используемый из них — это MPEG без видеоданных. Стандарт LPC (Linear Predictive Coding) используется для сжатия речи. Алгоритм LPC пытается промоделировать речевой тракт человека и выдает на выходе буквально текущее состояние участвующих в формировании звуков органов.