Математическая модель системы связи
Коды делятся на два больших класса. Коды с исправлением ошибок имеют целью восстановить с вероятностью, близкой к единице, посланное сообщение. Коды с обнаружением ошибок имеют целью выявить с вероятностью, близкой к единице, наличие ошибок.
Простой код с обнаружением ошибок основан на схеме проверки четности, применимой к сообщениям a1 . . . am любой фиксированной длины m. Схема кодирования определяется следующими формулами:
Таким образом, Pm+1 i=1 ai должна быть четной.
Соответствующая схема декодирования тривиальна:
Разумеется, что четность Pm+1 i=1 ai не гарантирует безошибочной передачи.
Пример. Проверка четности при m = 2 реализуется следующим кодом (функцией E): 00 → 000, 01 → 011, 10 →101, 11 → 110. В двоичном симметричном канале доля неверно принятых сообщений для этого кода (хотя бы с одной ошибкой) равна q3 + 3pq2 + 3p2q (три, две или одна ошибка соответственно). Из них незамеченными окажутся только ошибки точно в двух битах, не изменяющие четности. Вероятность таких ошибок 3pq2. Вероятность ошибочной передачи сообщения из двух бит равна 2pq + q2. При малых q верно, что 3pq2 « 2pq + q2.
Рассмотрим (m, 3m)-код с тройным повторением. Коды с повторениями очень неэффективны, но полезны в качестве теоретического примера кодов, исправляющих ошибки. Любое сообщение разбивается на блоки длиной m каждое и каждый блок передается трижды — это определяет функцию E. Функция D определяется следующим образом.
Принятая строка разбивается на блоки длиной 3m. Бит с номером i (1 « i « m) в декодированном блоке получается из анализа битов с номерами i, i+m, i+2m в полученном блоке: берется тот бит из трех, который встречается не менее двух раз. Вероятность того, что бит в данной позиции будет принят трижды правильно равна p3. Вероятность одной ошибки в тройке равна 3p2q. Поэтому вероятность правильного приема одного бита равна p3 +3p2q. Аналогичным образом получается, что вероятность приема ошибочного бита равна q3 + 3pq2.
Пример. Предположим q = 0.1. Тогда вероятность ошибки при передачи одного бита — 0.028, т.е. этот код снижает вероятность ошибки с 10% до 2.8%. Подобным образом организованная передача с пятикратным повторением даст вероятность ошибки на бит
q5 + 5pq4 + 10p2q3 = 0.00856 = 0.856%,
т. е. менее 1%. В результате вероятность правильной передачи строки длиной 10 возрастет с 0.910 ≈ 35% до 0.97210 ≈ 75% при тройных повторениях и до 0.9914410 ≈ 92% при пятикратных повторениях.
Тройное повторение обеспечивает исправление одной ошибки в каждой позиции за счет трехкратного увеличения времени передачи.
Рассмотрим (2048, 2313)-код, используемый при записи данных на магнитофонную ленту компьютерами Apple II. К каждому байту исходных данных прибавляется бит четности и, кроме того, после каждых таких расширенных битом четности 256 байт добавляется специальный байт, также расширенный битом четности. Этот специальный байт, который называют контрольной суммой (check sum), есть результат применения поразрядной логической операции “исключающее ИЛИ” (XOR) к 256 предшествующим расширенным байтам. Этот код способен как обнаруживать ошибки нечетной кратности в каждом из отдельных байт, так и исправлять до 8 ошибок в блоке длиной 256 байт.
Исправление ошибок основано на том, что если в одном из бит одного из байт 256 байтового блока произойдет сбой, обнаруживаемый проверкой четности, то этот же сбой проявится и в том, что результат операции “исключающее ИЛИ” над всеми соответствующими битами блока не будет соответствовать соответствующему биту контрольной суммы.
Сбойный бит однозначно определяется пересечением сбойных колонки байта и строки бита контрольной суммы. На рис. 14 изображена схема участка ленты, содержащего ровно 9 ошибок в позициях, обозначенных p1, p2, . . ., p9. Расширенный байт контрольной суммы обозначен CS, а бит паритета (в данном случае четности) — PB (parity bit). Ошибка в позиции p1 может быть исправлена. Ошибки в позициях p4, p5, p6, p7 можно обнаружить, но не исправить. Ошибки в позициях p2, p3, p8, p9 невозможно даже обнаружить.
Приведенные ранее примеры простейших кодов принадлежат к классу блочных. По определению, блочный код заменяет каждый блок из m символов более длинным блоком из n символов. Следовательно, (m, n)-коды являются блочными. Существуют также древовидные или последовательные коды, в которых значение очередного контрольного символа зависит от всего предшествующего фрагмента сообщения. Работа с древовидным шумозащитным кодом имеет сходство с работой с арифметическим кодом для сжатия информации.
Расстоянием (Хэмминга) между двоичными словами длины n называется количество позиций, в которых эти слова различаются. Это одно из ключевых понятий теории кодирования. Если обозначить двоичные слова как a = a1 . . . an и b = b1 . . . bn, то расстояние между ними обозначается d(a, b).
Весом двоичного слова a = a1 . . . an называется количество единиц в нем. Обозначение w(a). Можно сказать, что ω(a) =
Пример. Пусть a = 1001 и b = 0011, тогда w(a) = ω(b) = 2, d(a, b) = 2.
Далее операция + при применении к двоичным словам будет означать поразрядное сложение без переноса, т. е. сложение по модулю 2 или “исключающее ИЛИ” (XOR).
Расстояние между двоичными словами a и b равно весу их поразрядной суммы, т.е. d(a, b) = ω(a + b).
Если два слова различаются в каком-либо разряде, то это добавит единицу к весу их поразрядной суммы.
Следовательно, если a и b — слова длины n, то вероятность того, что слово a будет принято как b, равна pn−d(a,b)qd(a,b).
Наример, вероятность того, что слово 1011 будет принято как 0011, равна p3q.
Для возможности обнаружения ошибки в одной позиции минимальное расстояние между словами кода должно быть большим 1.
Иначе ошибка в одной позиции сможет превратить одно кодовое слово в другое, что не даст ее обнаружить.
Для того, чтобы код давал возможность обнаруживать все ошибки кратности, не большей k, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между его словами было k + 1.
Достаточность доказывается конструктивно: если условие утверждения выполнено для E, то в качестве декодирующей функции D следует взять функцию, сообщающую об ошибке, если декодируемое слово отличается от любого из слов из образа E. Необходимость доказывается от противного: если минимальное расстояние k' < k + 1, то ошибка в k' позициях сможет превратить одно кодовое слово в другое.
Для такого кода вероятность того, что ошибки в сообщении останутся необнаруженными, равна
≈ [при малых q и не слишком маленьких k] ≈ Cnk+1 pn−k−1qk+1.
Для того, чтобы код давал возможность исправлять все ошибки кратности, не большей k, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между его словами было 2k + 1.
Достаточность доказывается конструктивно: если условие утверждения выполнено для E, то в качестве декодирующей функции D следует взять функцию, возвращающую ближайшее к декодируемому слово из образа E. Необходимость доказывается от противного. Пусть расстояние между выбранными словами в коде равно 2k. Тогда если при передаче каждого из этих слов случится k ошибок, которые изменят биты, в которых различаются эти слова, то приемник получит два идентичных сообщения, что свидетельствует о том, что в данной ситуации исправление k ошибок невозможно. Следовательно, минимальное расстояние между словами кода должно быть большим 2k.
Пример. Рассмотрим (1, 3)-код, состоящий из E, задающей отображение 0 → 000 и 1 → 111, и D, задающей отображение 000 → 0, 001 → 0, 010 → 0, 011 → 1, 100 → 0, 101 → 1, 110 → 1, 111 → 1. Этот код (стройным повторением) исправляет ошибки в одной позиции, т.к. минимальное расстояние между словами кода равно 3.
Если код исправляет все ошибки кратности k и меньшей, то вероятность ошибочного приема P слова длины n очевидно не превосходит 
Вероятность правильного приема в этом случае не меньше, чем
Передачу данных часто удобно рассматривать следующим образом. Исходное сообщение a = a1 . . . am кодируется функцией E в кодовое слово b = b1 . . . bn. Канал связи при передаче добавляет к нему функцией T строку ошибок e = e1 . . . en так, что приемник получает сообщение r = r1 . . . rn, где ri = bi + ei (1 ≤ i ≤ n). Система, исправляющая ошибки, переводит r в некоторое (обычно ближайшее) кодовое слово. Система, только обнаруживающая ошибки, лишь проверяет, является ли принятое слово кодовым, и сигнализирует о наличии ошибки, если это не так.
Пример. Пусть передаваемое слово a = 01 кодируется словом b = 0110, а строка ошибок — e = 0010. Тогда будет принято слово r = 0100. Система, исправляющая ошибки, переведет его в 0110 и затем восстановит переданное слово 01.
Если система только обнаруживает ошибки и расстояние между любыми кодовыми словами k ≥ 2, то любая строка ошибок e с единственной единицей приведет к слову r = b + e, которое не является кодовым.
Пример. Рассмотрим (2, 3)-код с проверкой четности. Множество кодовых слов — {000, 011, 101, 110}. Ни одна из строк ошибок 001, 010, 100, 111 не переводит одно кодовое слово в другое. Поэтому однократная и тройная ошибки могут быть обнаружены.
Пример. Следующий (2, 5)-код обнаруживает две ошибки:
a1 = 00 → 00000 = b1, a2 = 01 → 01011 = b2,
a3 = 10 → 10101 = b3, a4 = 11 → 11110 = b4.
Этот же код способен исправлять однократную ошибку, потому что любые два кодовых слова отличаются по меньшей мере в трех позициях. Из того, что d(bi, bj) ≥ 3 при i ≠ j, следует, что однократная ошибка приведет к приему слова, которое находится на расстоянии 1 от кодового слова, которое было передано. Поэтому схема декодирования, состоящая в том, что принятое слово переводится в ближайшее к нему кодовое, будет исправлять однократную ошибку. В двоичном симметричном канале вероятность правильной передачи одного блока будет не меньше чем p5 + 5p4q.
Установлено, что в (n − r, n)-коде, минимальное расстояние между кодовыми словами которого 2k + 1, числа n, r (число дополнительных разрядов в кодовых словах) и k должны соответствовать неравенству
r ≥ log2(Cnk +Cnk-1 + . . . Сn-11 + 1),
называемому неравенством или нижней границей Хэмминга. Кроме того, если числа n, r и k соответствуют неравенству
r ≥ log2(Cn-12k-1 + Cn-12k-2 + . . . Сn-11 + 1),
называемому неравенством или верхней границей Варшамова-Гильберта, то существует (n − r, n)-код, исправляющий все ошибки веса k и менее.
Нижняя граница задает необходимое условие для помехозащитного кода с заданными характеристиками, т.е. любой такой код должен ему соответствовать, но не всегда можно построить код по подобранным, удовлетворяющим условию характеристикам. Верхняя граница задает достаточное условие для существования помехозащитного кода с заданными характеристиками, т. е. по любым подобранным, удовлетворяющим условию характеристикам можно построить им соответствующий код.