Раздел 3. Задачи выбора решений, отношения, функции выбора, функции полезности, критерии.
3.2 Формальная модель выбора.
Пусть задано множество вариантов A. Будем обозначать варианты буквами x, y, z… с индексами или без них. В содержательных задачах роль вариантов могут играть кандидаты, абитуриенты, планы, стратегии, проекты, товары и т.д. Будем считать, что A – конечное множество из двух или более элементов. Пусть далее 𝒜 – некоторое заданное множество непустых подмножеств X вариантов из A. Любое подмножество X ∈ 𝒜 может быть предъявлено для осуществления акта выбора и называется далее предъявлением. Будем обозначать A⁰ – множество всех непустых подмножеств множества A. A⁰ – универсальное множество в данной задаче.
В специально оговариваемых случаях могут вводиться ограничения на 𝒜 (например: 𝒜 содержит пары вариантов из A и т.п.). Акт выбора состоит в выделении из предъявления X ∈ 𝒜 по некоторому фиксированному правилу подмножества Y ⊆ X, называемого «выбор из X» или в установлении факта отказа от выбора. В последнем случае говорят, что выбор пуст (Y = ∅)
Общая модель выбора:
В результате преобразования выбора каждому X ставится в соответствие Y ⊆ X и возникает пара множеств <X, Y>. C(.) = {<X, Y> | X ∈ 𝒜} – функция выбора, т.е. Y = C(X).
Способы задания функции выбора сводятся к одной из двух форм:
1) поэлементное задание: C(.) = { y ∈ X | …},
2) целостное задание: C(X) = Y ⊆ X.
Характеристические свойства функций выбора
Рассмотрим ряд «естественных» требований к «разумному» выбору.
Будем говорить, что функция выбора C(.) удовлетворяет условию наследования (Н), если ∀ X, X' ∈ 𝒜 выполняется условие: [ X' ⊆ X ] ⇒ [ C(X) ∩ X' ⊆ C(X') ].
Т.е., если сузить предъявление, отбросив часть вариантов, то все варианты из суженного множества X', которые были выбраны из исходного множества X, также попадут в выбор из X'.
Пример 1: товары, выбранные из большого ассортимента, естественно будут выбраны и из содержащего их более узкого ассортимента.
Заметим, что это условие не исключает того, что в выбор из X' попадут еще какие-то варианты, которые в выбор из X не попали.
Усилим условие Н.
Будем говорить, что функция выбора C(.) удовлетворяет условию строгого наследования или константности (К) выбора, если ∀ X, X' ∈ 𝒜 выполняется условие:
[ X' ⊆ X ] ⇒ [ если C(X) = ∅, то C(X') = ∅, а если C(X) ∩ X' ≠ ∅, то C(X') = C(X) ∩ X' ].
Т.е. все выбранные из X варианты и только они попадают в выбор из X', если, конечно, они в X' содержатся. Если выбор из X был пуст, то и выбор из X’ будет пуст. И только если пересечение C(X) и X' пусто, а C(X) непусто, то C(X') может содержать какие-то другие варианты.
Пример 2.
Вы выбрали какие-то товары в каталоге, пришли в магазин и в наличии имеются какие-то из выбранных вами по каталогу товаров, то именно их вы и выбираете в магазине. Если же ни одного из выбранных вами по каталогу товаров в наличии нет, то возможно вы выберете что-то другое. А если вам изначально ничего не понравилось в каталоге, то вы и не пойдете в этот магазин.
Функция выбора C(.) удовлетворяет условию согласия (С), если ∀ X, X' ∈ 𝒜 выполняется условие:
[ X = X' ∪ X'' ] ⇒ [ C(X') ∩ C(X'') ⊆ C(X) ].
Т.е. все одинаковые варианты, выбираемые из X' и X'' по отдельности, должны выбираться и из объединения X' ∪ X''. Хотя в этот выбор могут попасть и еще какие-то другие варианты.